¿Qué es matriz hessiana?

La matriz Hessiana es una matriz cuadrada de segundas derivadas parciales de una función multivariable. Es una herramienta importante en cálculo vectorial y análisis de optimización.

La matriz Hessiana se encuentra a partir de la función f(x_1, x_2, ..., x_n) y se denota como H(f). Tiene la siguiente forma general:

H(f) = | ∂²f/∂x₁² ∂²f/∂x₁∂x₂ ... ∂²f/∂x₁∂xₙ | | ∂²f/∂x₂∂x₁ ∂²f/∂x₂² ... ∂²f/∂x₂∂xₙ | | ... ... ... ... | | ∂²f/∂xₙ∂x₁ ∂²f/∂xₙ∂x₂ ... ∂²f/∂xₙ² |

Donde cada entrada de la matriz es la segunda derivada parcial de la función f con respecto a las variables x_i y x_j.

La matriz Hessiana tiene varias propiedades útiles:

1. Es una matriz simétrica, es decir, H(f) = (H(f))^T. Esto se debe a la igualdad de las segundas derivadas mixtas.

2. Si todas las segundas derivadas parciales de f son continuas, entonces la matriz Hessiana es una matriz continua.

3. La matriz Hessiana se utiliza para determinar la naturaleza de los puntos críticos de una función multivariable. Si todos los autovalores de H(f) son positivos, el punto crítico corresponde a un mínimo local. Si todos los autovalores son negativos, corresponde a un máximo local. Si hay una combinación de autovalores positivos y negativos, el punto crítico corresponde a un punto de silla.

La matriz Hessiana también se utiliza en teoría de optimización para verificar si un punto es un mínimo o máximo, así como para encontrar puntos estacionarios y determinar la convexidad o concavidad de una función.