¿Qué es matriz hessiana?

Matriz Hessiana

La matriz Hessiana es una matriz cuadrada de segundas derivadas parciales de una función escalar de varias variables. Describe la curvatura local de una función. Es una herramienta fundamental en optimización, cálculo multivariable y análisis numérico.

Definición:

Dada una función $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ con segundas derivadas parciales continuas, la matriz Hessiana, denotada como $H(f)$ o $\nabla^2 f$, se define como:

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

Importancia y Aplicaciones:

• Determinación de máximos y mínimos: La matriz Hessiana se utiliza en el criterio de la segunda derivada para determinar si un punto crítico es un máximo local, un mínimo local o un punto de silla. Esto se basa en la definitud (positiva, negativa, indefinida) de la matriz Hessiana en ese punto.

• Optimización: En algoritmos de optimización como el método de Newton, la matriz Hessiana (o una aproximación de ella) se utiliza para encontrar la dirección de descenso más rápida hacia un mínimo de la función objetivo.

• Análisis de la curvatura: Los autovalores de la matriz Hessiana proporcionan información sobre la curvatura de la función en diferentes direcciones. Los autovalores positivos indican curvatura convexa, mientras que los autovalores negativos indican curvatura cóncava.

• Aproximaciones cuadráticas: La matriz Hessiana se utiliza en la aproximación cuadrática de una función alrededor de un punto, que es una herramienta clave en análisis numérico y modelado.

• Prueba de Concavidad/Convexidad: Si la matriz Hessiana es semidefinida positiva en una región, la función es convexa en esa región. Si es semidefinida negativa, la función es cóncava.

Propiedades:

• Si las segundas derivadas parciales son continuas, la matriz Hessiana es simétrica (Teorema de Schwarz). Esto significa que $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$.

• Los autovalores de la matriz Hessiana son reales.